Radar Hot Breaking News
Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Rumus Luas Segitiga adalah tiga konsep dasar dalam trigonometri yang berkaitan dengan sisi dan sudut segitiga. Aturan Sinus menghubungkan perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut berhadapan, Aturan Cosinus menghubungkan sisi-sisi dengan cosinus sudut apit, dan Rumus Luas Segitiga memungkinkan perhitungan luas menggunakan pendekatan trigonometri atau geometri dasar.
Penjelasan Detail
1. Aturan Sinus
Aturan Sinus menyatakan bahwa perbandingan panjang sisi segitiga dengan sinus sudut berhadapan adalah konstan. Dalam segitiga ABC, Aturan Sinus dirumuskan sebagai:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
(R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga). Aturan ini digunakan untuk mencari panjang sisi atau besar sudut jika beberapa sisi dan sudut berlawanan diketahui.
2. Aturan Cosinus
Aturan Cosinus menghubungkan kuadrat panjang sisi dengan kuadrat sisi lain dan cosinus sudut apit. Dalam segitiga ABC, rumusnya adalah:
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C
Aturan ini berguna untuk mencari panjang sisi atau sudut jika dua sisi dan sudut apit atau ketiga sisi diketahui.
3. Rumus Luas Segitiga
Rumus dasar luas segitiga adalah (1/2) × alas × tinggi. Dengan Aturan Sinus, luas juga dapat dihitung sebagai:
Luas = (1/2) × a × b × sin C
(a dan b adalah sisi, C adalah sudut apit). Rumus ini digunakan ketika diketahui dua sisi dan sudut apitnya.
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Segitiga ABC: ∠A = 30°, BC = 6 cm, AC = 10 cm. Tentukan sin B!
Pembahasan:
BC = a, AC = b
a / sin A = b / sin B
6 / sin 30° = 10 / sin B
sin B = (10 × sin 30°) / 6 = (10 × ½) / 6 = 5/6
2. Segitiga PQR: ∠P = 60°, ∠R = 45°, QR = 8√3 cm. Tentukan PQ!
Pembahasan:
QR = p, PQ = r
p / sin P = r / sin R
8√3 / sin 60° = r / sin 45°
r = (8√3 × sin 45°) / sin 60° = (8√3 × ½√2) / (½√3) = 8√2 cm
3. Segitiga ABC: AB = 20 cm, ∠B = 60°, ∠A = 75°. Tentukan AC!
Pembahasan:
∠C = 180° - (75° + 60°) = 45°
AB = c, AC = b
b / sin B = c / sin C
b / sin 60° = 20 / sin 45°
b = (20 × sin 60°) / sin 45° = (20 × ½√3) / (½√2) = 10√6 cm
4. Segitiga ABC: c = 12√2 cm, ∠A = 105°, ∠C = 45°. Tentukan b!
Pembahasan:
∠B = 180° - (105° + 45°) = 30°
b / sin B = c / sin C
b / sin 30° = 12√2 / sin 45°
b = (12√2 × sin 30°) / sin 45° = (12√2 × ½) / (½√2) = 12 cm
5. Segitiga PQR: QR = 4 cm, PR = 10 cm, sin Q = ½. Tentukan cos P!
Pembahasan:
QR = p, PR = q
p / sin P = q / sin Q
4 / sin P = 10 / ½
sin P = (4 × ½) / 10 = 1/5
cos² P = 1 - sin² P = 1 - (1/5)² = 24/25
cos P = ⅖√6
6. Segitiga ABC: AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 8 cm. Tentukan cos ∠ACB!
Pembahasan:
cos C = (BC² + AC² - AB²) / (2 × BC × AC)
= (6² + 8² - 4²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 - 16) / 96 = 84/96 = 7/8
7. Segitiga: Sisi 3 cm dan 8 cm, sudut apit 60°. Tentukan x!
Pembahasan:
x² = 3² + 8² - 2 × 3 × 8 × cos 60°
= 9 + 64 - 24 = 49
x = √49 = 7 cm
8. Segitiga KLM: KL = 9 cm, KM = 8 cm, LM = 7 cm. Tentukan sin K!
Pembahasan:
cos K = (KL² + KM² - LM²) / (2 × KL × KM)
= (9² + 8² - 7²) / (2 × 9 × 8) = (81 + 64 - 49) / 144 = 2/3
sin² K = 1 - cos² K = 1 - (2/3)² = 5/9
sin K = ⅓√5
9. Segitiga sama kaki ABC: AB = AC = 8 cm, ∠ABC = 30°. Tentukan BC!
Pembahasan:
∠A = (180° - 30°) / 2 = 75° (segitiga sama kaki)
BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cos A
= 8² + 8² - 2 × 8 × 8 × cos 75°
= 64 + 64 - 128 × (-½) = 192
BC = √192 = 8√3 cm
10. Segitiga ABC: a = 2√7 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Tentukan sin A!
Pembahasan:
cos A = (b² + c² - a²) / (2 × b × c)
= (4² + 6² - (2√7)²) / (2 × 4 × 6) = (16 + 36 - 28) / 48 = 1/2
∠A = 60° (karena cos 60° = 1/2)
sin A = sin 60° = ½√3
11. Segitiga ABC: ∠ABC = 60°, AB = 12 cm, BC = 15 cm. Tentukan luas segitiga!
Pembahasan:
Luas = ½ × AB × BC × sin ∠ABC
= ½ × 12 × 15 × sin 60° = ½ × 12 × 15 × ½√3 = 45√3 cm²
12. Segitiga sama sisi: sisi = 12 cm. Tentukan luas!
Pembahasan:
Luas = ½ × s × s × sin 60°
= ½ × 12 × 12 × ½√3 = 36√3 cm²
13. Segiempat ABCD: Tentukan luas!
Pembahasan:
Luas △ABD = ½ × 3 × 8 × sin 60° = 12 × ½√3 = 6√3 cm²
BD² = 3² + 8² - 2 × 3 × 8 × cos 60° = 9 + 64 - 24 = 49
BD = √49 = 7 cm
△CBD adalah segitiga siku-siku (tripel Pythagoras 7, 24, 25)
Luas △CBD = ½ × 7 × 24 = 84 cm²
Luas ABCD = 6√3 + 84 = (6√3 + 84) cm²
14. Segitiga ABC: ∠A = 65°, ∠B = 55°, AC = 6 cm, BC = 8 cm. Tentukan luas!
Pembahasan:
∠C = 180° - (65° + 55°) = 60°
Luas = ½ × AC × BC × sin C
= ½ × 6 × 8 × sin 60° = ½ × 6 × 8 × ½√3 = 12√3 cm²
15. Segilima beraturan: jari-jari 8 cm. Tentukan luas!
Pembahasan:
Segilima beraturan terdiri dari 5 segitiga kongruen. Sudut pusat △AOB = 360° / 5 = 72°.
Luas △AOB = ½ × 8 × 8 × sin 72° = 32 × 0,951
Luas segilima = 5 × luas △AOB = 5 × 32 × 0,951 = 152,16 cm²
Penutup
Semoga Bermanfaat!
Untuk informasi lebih lanjut, kunjungi sumber asli.