Menentukan Jenis Akar akar Persamaan Kuadrat

Menentukan Jenis Akar akar Persamaan Kuadrat







Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Pendahuluan

Persamaan kuadrat adalah salah satu jenis persamaan aljabar yang paling sering ditemui dalam matematika. Persamaan ini memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta-konstanta real. Menentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat ini merupakan salah satu topik penting dalam mempelajari persamaan kuadrat.

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu:

  1. Akar-akar real dan berbeda (distinct real roots)
  2. Akar-akar real dan sama (repeated real roots)
  3. Akar-akar kompleks (complex roots)

Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan. Kita juga akan mempelajari ciri-ciri dari masing-masing jenis akar-akar tersebut.

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat, kita perlu menghitung nilai diskriminan dari persamaan tersebut. Diskriminan adalah suatu nilai yang diperoleh dari koefisien-koefisien persamaan kuadrat, yaitu a, b, dan c.

Rumus diskriminan persamaan kuadrat adalah:

D = b^2 - 4ac

Nilai diskriminan D ini akan menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Berikut adalah penjelasan untuk masing-masing kasus:

  1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda.
  2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real yang berulang (sama).
  3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks.

Selanjutnya, kita akan membahas lebih rinci mengenai setiap jenis akar-akar persamaan kuadrat.

Akar-akar Real dan Berbeda

Jika nilai diskriminan D suatu persamaan kuadrat lebih besar dari 0 (D > 0), maka persamaan tersebut memiliki dua akar real yang berbeda. Akar-akar real yang berbeda ini dapat dihitung menggunakan rumus:

x1 = (-b + √D) / (2a) x2 = (-b - √D) / (2a)

Di mana:

  • x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
  • a, b, dan c adalah koefisien-koefisien persamaan kuadrat
  • D = b^2 - 4ac adalah diskriminan persamaan kuadrat

Contoh: Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat 2x^2 + 3x - 5 = 0. Untuk menentukan jenis akar-akarnya, kita dapat menghitung nilai diskriminannya terlebih dahulu:

D = b^2 - 4ac D = 3^2 - 4(2)(-5) D = 9 + 40 D = 49

Karena D = 49 > 0, maka persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda. Kita dapat menghitung nilai akar-akarnya menggunakan rumus di atas:

x1 = (-3 + √49) / (2(2)) x1 = (-3 + 7) / 4 x1 = 4 / 4 x1 = 1

x2 = (-3 - √49) / (2(2)) x2 = (-3 - 7) / 4 x2 = -10 / 4 x2 = -5/2

Jadi, persamaan 2x^2 + 3x - 5 = 0 memiliki dua akar real yang berbeda, yaitu x1 = 1 dan x2 = -5/2.

Akar-akar Real dan Sama

Jika nilai diskriminan D suatu persamaan kuadrat sama dengan 0 (D = 0), maka persamaan tersebut memiliki satu akar real yang berulang (sama). Akar real yang sama ini dapat dihitung menggunakan rumus:

x = -b / (2a)

Di mana:

  • x adalah akar persamaan kuadrat
  • a dan b adalah koefisien-koefisien persamaan kuadrat

Contoh: Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat x^2 + 2x + 1 = 0. Untuk menentukan jenis akar-akarnya, kita dapat menghitung nilai diskriminannya terlebih dahulu:

D = b^2 - 4ac D = 2^2 - 4(1)(1) D = 4 - 4 D = 0

Karena D = 0, maka persamaan ini memiliki satu akar real yang berulang. Kita dapat menghitung nilai akar tersebut menggunakan rumus di atas:

x = -b / (2a) x = -2 / (2(1)) x = -1

Jadi, persamaan x^2 + 2x + 1 = 0 memiliki satu akar real yang berulang, yaitu x = -1.

Akar-akar Kompleks

Jika nilai diskriminan D suatu persamaan kuadrat kurang dari 0 (D < 0), maka persamaan tersebut memiliki dua akar kompleks. Akar-akar kompleks ini dapat dihitung menggunakan rumus:

x1 = (-b + i√(-D)) / (2a) x2 = (-b - i√(-D)) / (2a)

Di mana:

  • x1 dan x2 adalah akar-akar kompleks persamaan kuadrat
  • a, b, dan c adalah koefisien-koefisien persamaan kuadrat
  • D = b^2 - 4ac adalah diskriminan persamaan kuadrat
  • i adalah bilangan imajiner, di mana i^2 = -1

Contoh: Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat x^2 + 4x + 5 = 0. Untuk menentukan jenis akar-akarnya, kita dapat menghitung nilai diskriminannya terlebih dahulu:

D = b^2 - 4ac D = 4^2 - 4(1)(5) D = 16 - 20 D = -4

Karena D = -4 < 0, maka persamaan ini memiliki dua akar kompleks. Kita dapat menghitung nilai akar-akarnya menggunakan rumus di atas:

x1 = (-4 + i√(-(-4))) / (2(1)) x1 = (-4 + i√4) / 2 x1 = (-4 + 2i) / 2 x1 = -2 + i

x2 = (-4 - i√(-(-4))) / (2(1)) x2 = (-4 - i√4) / 2 x2 = (-4 - 2i) / 2 x2 = -2 - i

Jadi, persamaan x^2 + 4x + 5 = 0 memiliki dua akar kompleks, yaitu x1 = -2 + i dan x2 = -2 - i.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah mempelajari bagaimana menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan. Terdapat tiga jenis akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

  1. Akar-akar real dan berbeda, jika D > 0
  2. Akar-akar real dan sama, jika D = 0
  3. Akar-akar kompleks, jika D < 0

Kita juga telah mempelajari rumus-rumus untuk menghitung nilai akar-akar persamaan kuadrat pada masing-masing kasus. Pemahaman yang baik mengenai jenis akar-akar persamaan kuadrat ini akan sangat berguna dalam mempelajari matematika lanjutan, seperti aljabar dan analisis kompleks.

Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt.

Disqus Comments