5 Soal Persamaan Diferensial dengan Kondisi Batas

 

5 Soal Persamaan Diferensial dengan Kondisi Batas



5 Soal Persamaan Diferensial dengan Kondisi Batas Kalkulus Beserta Pembahasan Metode dan Jawabannya

Persamaan diferensial dengan kondisi batas adalah masalah matematika yang sering muncul dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Kondisi batas memberikan informasi tambahan yang membantu dalam menemukan solusi yang unik untuk persamaan diferensial. Dalam artikel ini, kita akan membahas lima soal persamaan diferensial dengan kondisi batas beserta metode penyelesaiannya dan jawabannya.

Soal 1: Persamaan Diferensial Orde Pertama

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: y+y=ex,y(0)=

Metode Penyelesaian:

  1. Metode Integrating Factor:

    • Bentuk umum persamaan: y+p(x)y=q(x)y' + p(x)y = q(x) 
    • Di sini, p(x)=1 dan q(x)=exq(x) = e^{-x} 
    • Integrating factor μ(x)=ep(x)dx=ex\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} = e^{x}
  2.  Menerapkan Integrating Factor:

    exy+exy=exex    (exy)=1e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}e^{-x} \implies (e^{x}y)' = 1
  3. Integrasi:

    exy=1dx    exy=x+Ce^{x}y = \int 1 \, dx \implies e^{x}y = x + C 
  4. Menerapkan Kondisi Batas:

    y(0)=1    e01=0+C    C=1y(0) = 1 \implies e^{0} \cdot 1 = 0 + C \implies C = 1 
  5. Solusi Akhir:

    exy=x+1    y=ex(x+1)e^{x}y = x + 1 \implies y = e^{-x}(x + 1) 

Jawaban: y=ex(x+1)y = e^{-x}(x + 1) 

Soal 2: Persamaan Diferensial Orde Kedua Homogen

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: y3y+2y=0,y(0)=2,y(0)=0y'' - 3y' + 2y = 0, \quad y(0) = 2, \quad y'(0) = 0 

Metode Penyelesaian:

  1. Bentuk Karakteristik:

    r23r+2=0r^2 - 3r + 2 = 0 
    • Faktorkan persamaan karakteristik:
    (r1)(r2)=0    r=1,2(r - 1)(r - 2) = 0 \implies r = 1, 2 
  2. Solusi Umum:

    y(x)=C1ex+C2e2xy(x) = C_1e^{x} + C_2e^{2x} 
  3. Menerapkan Kondisi Batas:

    • Dari y(0)=2y(0) = 2 

      C1+C2=2C_1 + C_2 = 2 
    • Dari y(0)=0y'(0) = 0 

      y(x)=C1ex+2C2e2xy'(x) = C_1e^{x} + 2C_2e^{2x} 
      y(0)=C1+2C2=0y'(0) = C_1 + 2C_2 = 0 
  4. Sistem Persamaan:

    {C1+C2=2C1+2C2=0\begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1 + 2C_2 = 0 \end{cases}
  5. Menyelesaikan Sistem:

    C2=2,C1=4C_2 = -2, \quad C_1 = 4 
  6. Solusi Akhir:

    y(x)=4ex2e2xy(x) = 4e^{x} - 2e^{2x} 

Jawaban: y(x)=4ex2e2xy(x) = 4e^{x} - 2e^{2x} 

Soal 3: Persamaan Diferensial Orde Kedua Non-Homogen

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: y+y=sinx,y(0)=0,y(π2)=0y'' + y = \sin x, \quad y(0) = 0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 

Metode Penyelesaian:

  1. Solusi Homogen:

    yh+yh=0    yh=C1cosx+C2sinxy_h'' + y_h = 0 \implies y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x 
  2. Solusi Particular:

    • Asumsikan yp=Asinxy_p = A \sin x , karena sinx\sin x adalah solusi dari persamaan diferensial non-homogen.
    yp+yp=sinx    Asinx+Asinx=sinx    A=1y_p'' + y_p = \sin x \implies -A \sin x + A \sin x = \sin x \implies A = -1 
  3. Solusi Total:

    y=yh+yp    y=C1cosx+C2sinxsinxy = y_h + y_p \implies y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \sin x 
  4. Menerapkan Kondisi Batas:

    • Dari y(0)=0y(0) = 0 

      C1cos0+C2sin0sin0=0    C1=0C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 - \sin 0 = 0 \implies C_1 = 0 
    • Dari y(π2)=0y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 

      C2sinπ2sinπ2=0    C21=0    C2=1C_2 \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} = 0 \implies C_2 - 1 = 0 \implies C_2 = 1 
  5. Solusi Akhir:

    y=sinxsinx=0y = \sin x - \sin x = 0 

Jawaban: y=sinxsinx=0y = \sin x - \sin x = 0 

Soal 4: Persamaan Diferensial Orde Pertama Non-Homogen

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: y+2y=3,y(1)=

Metode Penyelesaian:

  1. Metode Integrating Factor:

    • Integrating factor μ(x)=e2dx=e2
  2. Menerapkan Integrating Factor:

    e2xy+2e2xy=3e2x    (e2xy)=3e2xe^{2x}y' + 2e^{2x}y = 3e^{2x} \implies (e^{2x}y)' = 3e^{2x} 
  3. Integrasi:

    e2xy=3e2xdx=32e2x+Ce^{2x}y = \int 3e^{2x} \, dx = \frac{3}{2}e^{2x} + C 
  4. Solusi Umum:

    y=32+Ce2xy = \frac{3}{2} + Ce^{-2x} 
  5. Menerapkan Kondisi Batas:

    y(1)=1    32+Ce2=1    C=132e2y(1) = 1 \implies \frac{3}{2} + Ce^{-2} = 1 \implies C = 1 - \frac{3}{2}e^{2} 
  6. Solusi Akhir:

    y=32+(132e2)e2xy = \frac{3}{2} + \left(1 - \frac{3}{2}e^{2}\right)e^{-2x} 

Jawaban: y=32+(132e2)e2xy = \frac{3}{2} + \left(1 - \frac{3}{2}e^{2}\right)e^{-2x} 

Soal 5: Persamaan Diferensial Orde Kedua dengan Syarat Awal

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: y+4y=0,y(0)=2,y(π4)=

Metode Penyelesaian:

  1. Bentuk Karakteristik:

    r2+4=0    r=±2ir^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i 
  2. Solusi Umum:

    y(x)=C1cos2x+C2sin2xy(x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x 
  3. Menerapkan Kondisi Batas:

    • Dari y(0)=2y(0) = 2:

      C1cos0+C2sin0=2    C1=2C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 = 2 \implies C_1 = 2 
    • Dari y(π4)=0y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0:

      y=2C1sin2x+2C2cos2xy' = -2C_1 \sin 2x + 2C_2 \cos 2x 

Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt.

Disqus Comments