Rumus cepat untuk limit tak hingga bergantung pada bentuk limitnya. Secara umum, untuk limit tak hingga dalam bentuk pecahan, nilai limit dapat ditentukan dengan membandingkan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut. Jika pangkat pembilang lebih kecil dari penyebut, limit = 0. Jika pangkat pembilang sama dengan penyebut, limit = perbandingan koefisien pangkat tertinggi. Jika pangkat pembilang lebih besar dari penyebut, limit = tak hingga (∞). Untuk bentuk akar pangkat tiga, ada rumus khususnya yang melibatkan manipulasi aljabar. 

Berikut penjelasan lebih detail:

Limit Tak Hingga dalam Bentuk Pecahan:

Bentuk umum: lim (x->∞) [f(x) / g(x)], dimana f(x) dan g(x) adalah fungsi polinomial.

Langkah-langkah:

Bandingkan pangkat tertinggi: Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada pembilang (m) dan penyebut (n).

Tentukan nilai limit:

Jika m < n, maka limit = 0.

Jika m = n, maka limit = (koefisien pangkat tertinggi f(x)) / (koefisien pangkat tertinggi g(x)).

Jika m > n, maka limit = ∞. 

Contoh:

lim (x->∞) (2x^2 + 3x + 1) / (x^3 + 5x) = 0 (karena 2 < 3).

lim (x->∞) (3x^2 + 2x + 1) / (2x^2 + 5x) = 3/2 (karena 2 = 2, dan perbandingan koefisien adalah 3/2).

lim (x->∞) (x^3 + 2x) / (2x^2 + 5x) = ∞ (karena 3 > 2). 

Limit Tak Hingga Bentuk Akar Pangkat Tiga:

Bentuk umum:

 lim (x->∞) (³√(ax³ + bx² + cx + d) - ³√(ax³ + px² + qx + r)).

Rumus cepat: 

Rumus ini melibatkan manipulasi aljabar dengan mengalikan dan membagi dengan bentuk sekawan. Hasil akhirnya adalah: 

lim (x->∞) (b - p) / (3 * ³√(a²)). 

Contoh:

lim (x->∞) (³√(8x³ + 2x² + 5), ³√(8x³ + x² + 2)) = (2, 1) / (3, ³√(8²)) = 1 / (3, 4) = 1/12.

Penting:

Rumus-rumus ini adalah cara pintas untuk menyelesaikan soal limit tak hingga.

Penting untuk memahami konsep dasar limit dan manipulasi aljabar agar dapat menggunakan rumus ini dengan tepat.

Untuk soal-soal yang lebih kompleks, mungkin diperlukan teknik lain seperti pemfaktoran atau substitusi. 

Definisi Limit Tak Hingga

Limit tak hingga terjadi ketika variabel $x$ mendekati tak hingga ($\infty$ atau $-\infty$). Secara matematis, hal ini ditulis sebagai:

• $\lim_{{x \to \infty}} f(x)$ 
• $\lim_{{x \to -\infty}} f(x)$
  

Rumus Cepat untuk Limit Tak Hingga

1. Limit Fungsi Rasional:

   Untuk fungsi rasional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, di mana $P(x)$ dan $Q(x)$ adalah polinomial, kita dapat menggunakan rumus cepat berikut berdasarkan derajat tertinggi dari polinomial dalam pembilang dan penyebut.

   • Jika derajat $P(x)$  < derajat $Q(x)$ :

     $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{P(x)}{Q(x)} = 0$$ 

   • Jika derajat $P(x)$  = derajat $Q(x)$ :

     $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n}{b_m}$$

     Di mana $a_n$ adalah koefisien dari suku $x^n$ dalam $P(x)$ dan $b_m$ adalah koefisien dari suku $x^m$ dalam $Q(x)$.

   • Jika derajat $P(x)$  > derajat $Q(x)$ :

     $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{P(x)}{Q(x)} = \infty \text{ (atau } -\infty \text{, tergantung tanda koefisien terdepan)}$$ 

2. Limit Fungsi Eksponensial dan Logaritma:

   • Untuk fungsi eksponensial $f(x) = e^{kx}$

     $$\lim_{{x \to \infty}} e^{kx} = \begin{cases} \infty & \text{jika } k > 0 \\ 0 & \text{jika } k < 0 \end{cases}$$

   • Untuk fungsi logaritma $f(x) = \ln(x)$ 

     $$\lim_{{x \to \infty}} \ln(x) = \infty$$ 

Contoh Soal dan Penyelesaian

1. Contoh Limit Fungsi Rasional:

   Hitung limit berikut:

   $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{3x^2 + 5x + 7}{2x^2 - x + 4}$$

   Penyelesaian: Derajat tertinggi pembilang dan penyebut adalah sama (2). Maka, kita ambil koefisien dari suku dengan derajat tertinggi:

   $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{3x^2 + 5x + 7}{2x^2 - x + 4} = \frac{3}{2}$$

2. Contoh Limit Fungsi Eksponensial:

   Hitung limit berikut:

   $$\lim_{{x \to \infty}} e^{-2x}$$ 
   

   Penyelesaian: Karena $k = -2$ (negatif), maka:

   $$\lim_{{x \to \infty}} e^{-2x} = 0$$ 

3. Contoh Limit Fungsi Logaritma:

   Hitung limit berikut:

   $$\lim_{{x \to \infty}} \ln(x)$$ 
   

   Penyelesaian: Dengan sifat logaritma, kita dapatkan:

   $$\lim_{{x \to \infty}} \ln(x) = \infty$$ 

Kesimpulan

Menguasai rumus cepat untuk limit tak hingga sangat membantu dalam menyelesaikan soal-soal kalkulus dengan efisien. Dengan memahami konsep dasar dan menggunakan rumus ini, kita dapat dengan cepat menentukan limit dari berbagai jenis fungsi saat variabel mendekati tak hingga. Latihan yang konsisten akan memperkuat pemahaman dan keterampilan dalam menerapkan rumus-rumus ini dalam berbagai situasi.