Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga by Bimbel Jakarta Timur
Bimbel Jakarta Timur akan membahas Tiga teorema utama yang terkait dengan segitiga adalah Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus Luas Segitiga. Mari kita bahas masing-masing:
Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga adalah konsep dasar dalam trigonometri yang berhubungan dengan sisi dan sudut segitiga. Aturan Sinus menghubungkan perbandingan sisi segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan dengannya, sementara Aturan Cosinus menghubungkan sisi-sisi segitiga dengan cosinus salah satu sudutnya. Luas Segitiga dapat dihitung dengan berbagai rumus, termasuk yang melibatkan aturan sinus (jika diketahui dua sisi dan sudut apitnya).
Berikut penjelasan lebih detail:
1. Aturan Sinus:
Aturan sinus menyatakan bahwa perbandingan panjang sisi segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut adalah konstan.
Dalam segitiga ABC, aturan sinus dapat ditulis sebagai:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (di mana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga).
Aturan ini berguna untuk mencari panjang sisi atau besar sudut jika diketahui beberapa sisi dan sudut yang berlawanan.
2. Aturan Cosinus:
Aturan cosinus menghubungkan kuadrat panjang salah satu sisi segitiga dengan kuadrat panjang dua sisi lainnya dan cosinus sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut.
Dalam segitiga ABC, aturan cosinus dapat ditulis sebagai:
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C.
Aturan ini berguna untuk mencari panjang sisi jika diketahui dua sisi dan sudut apitnya, atau untuk mencari besar sudut jika ketiga sisi diketahui.
3. Luas Segitiga:
Rumus dasar luas segitiga adalah (1/2) * alas * tinggi.
Dengan aturan sinus, luas segitiga juga dapat dihitung jika diketahui dua sisi dan sudut apitnya:
Luas = (1/2) * a * b * sin C (di mana a dan b adalah dua sisi, dan C adalah sudut apitnya).
Contoh Penggunaan:
Jika diketahui dua sisi segitiga dan sudut yang diapitnya, aturan sinus dapat digunakan untuk mencari sisi ketiga.
Jika diketahui ketiga sisi segitiga, aturan cosinus dapat digunakan untuk mencari besar sudut-sudutnya.
Jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya, rumus luas segitiga dengan aturan sinus dapat digunakan untuk menghitung luas segitiga
1. Aturan Sinus
 |
| Aturan Sinus |
Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂
 |
| Aturan Sinus 2 |
2. Aturan Cosinus
Perhatikan gambar berikut!
 |
| Aturan Cosinus |
b² =CD² + AD² ..... (1)
Pada △BCD
Sin B=CD ⇔ CD=a. Sin B... (2)
a
Cos B=BD ⇔ BD=a. Cos B... (3)
a
AD=AB - BD=c - a. Cos B.... (4)
Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan
b²=(a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b²=a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b²=a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b²=a² + c² - 2.a.c.Cos B
Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:
 |
| Aturan Cosinus 2 |
Dari aturan cosinus tersebut kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.
a² =b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A= b² + c² - a²
Cos A= b² + c² - a²
2.b.c
⇔ Cos B= a² + c² - b²
2.a.c
⇔ Cos C= a² + b² - c²
2.a.b
3. Luas Segitiga
 |
| Rumus Luas Segitiga |
Perhatikan △ABC disamping !
Sin A=CD
b
⇔ CD=b. sin A
Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:
½ x alas x tinggi
Dalam △ABC disamping
⇨ ½ x AB x CD
⇨ ½ x c x b.Sin A
Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :
Luas △= ½ b.c.Sin A
Luas △= ½ a.c.Sin B
Luas △= ½ a.b..Sin C
MARI BERLATIH DENGAN SOAL
1. Pada △ABC diketahui bahwa <A=30°, BC=6 cm dan AC=10 cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!
Pembahasan:
BC=a dan AC=b
a = b
Sin A Sin B
6 = 10
Sin30° Sin B
⇔ Sin B=10 x Sin30° ⇔ Sin B=10 x ½ ⇔ Sin B=5/6
6 6
2. Pada △PQR diketahu besar <P=60°, <R=45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!
Pembahasan :
QR=p dan PQ=r
menurut aturan sinus p = r ⇔ 8√3 = r
Sin P Sin R Sin 60° Sin 45°
⇔ r= 8√3 x Sin 45° ⇔ r= 8√3 ½√2 ⇔ r=8√2 cm
Sin 60° ½√3
3. Perhatikan △ABC disamping !
Berapakah panjang sisi AC?
 |
| Berapa panjang sisi AC ? |
Pembahasan :
AB=c dan AC=b
besar <C=180° - (75°+ 60°)= 45°
b = c
Sin B Sin C
b = 20
Sin 60° Sin 45°
b = 20 x Sin 60° = 20 x ½√3
Sin 45° ½√2
b = 20√3 x √2 = 10√6cm
√2 √2
4. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c=12√2cm, besar <A=105° dan <C=45° maka berapakah panjang sisi b?
Pembahasan :
Besar <B=180° - (105° + 45°)=30°
b = c
Sin B Sin C
b = 12√2
Sin 30° Sin 45°
b=12√2 x Sin 30° = 12√2 x ½ = 12 cm
Sin 45° ½√2
5. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR=4cm, PR=10cm dan Sin Q=½. Berapakah nilai Cos P?
Pembahasan :
QR=p dan PR=q
p = q ⇔ 4 = 10
Sin P Sin Q Sin P ½
⇔ Sin P= 4 x ½ = 1
10 5
⇔ Cos² P=1 - Sin² P ⇔ Cos² P=1 - (⅕)²
⇔ Cos² P=24/25 ⇔ Cos P= ⅖√6 cm
6. Sebuah △ABC memiliki panjang AB=4 cm, BC=6 cm dan AC=8 cm. Nilai cos <ACB adalah...
Pembahasan :
Cos <ACB=BC² + AC² - AB²
2 x BC x AC
Cos <ACB= 6² + 8² - 4² =36 + 64 - 16 = 84 = 7
2 x 6 x 8 96 96 8
7. Tentukan nilai X pada gambar segitiga dibawah!
 |
| Nilai x? |
Pembahasan :
X²=3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°
X² =9 + 64 - 2.24.½
X²=73 -24=49
X =√49=7cm
8. Ditentukan △KLM dengan KL=9cm, KM=8cm dan LM=7cm. Nilai Sin K adalah...
Pembahasan :
Cos K=KL² + KM² - LM²
2 x KL x KM
Cos K= 9² + 8² - 7² =81 + 64 - 49 = 96 = 2
2 x 9 x 8 144 144 3
⇔ Sin² K =1 - Cos² K
⇔ Sin² K =1 - (2/3)²
⇔ Sin² K =1 - 4-/9=5/9
⇔ Sin K =√5/9 =⅓√5
9. Sebuah segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB=AC=8cm dan besar <ABC=30°. Berapakah panjang sisi BC?
Pembahasan :
 |
| panjang sisi BC? |
BC² =AB² + AC² - 2xABxACx Cos A
BC² =8² + 8² - 2 x 8 x 8 x (-½)
BC² =64 + 64 + 64=192
BC =√192 = 8√3 cm
10. Pada △ABC diketahui a=2√7cm, b=4cm dan c=6cm. Maka nilai Sin A adalah...
Pembahasan :
Cos A=b² + c² - a²
2xbxc
Cos A= 4² + 6² - (2√7)² = 16 + 36 - 28 = 24 =1
2x4x6 48 48 2
maka didapat besar <A=60°
Sin 60°= ½√3
Contoh Soal Cerita Aturan Sinus Dan Aturan Cosinus
11. Pada △ABC diketahui <ABC=60°, panjang sisi AB=12cm dan panjang sisi BC=15cm. Luas segitiga itu adalah...
Pembahasan :
Luas △ABC=½ x AB x BC x Sin <ABC
=½ x 12 x 15 x ½√3
=45√3 cm²
12. Berapakah luas sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi 12cm?
Pembahasan :
Segitiga sama sisi memiliki besar sudut yang sama yaitu 60° dan semua sisi memiliki panjang yang sama sehingga luasnya didapat seperti ini
Luas △=½ x s x s x Sin α
=½ x 12 x 12 x ½√3
= 36√3 cm²
13. Berapakah luas segiempat ABCD pada gambar dibawah?
 |
| Luas segi empat ABCD ? |
Pembahasan :
Luas △ABD=½ x 3 x 8 x Sin 60°=12 x ½√3= 6√3 cm²
Untuk menghitung luas △CBD, terlebih dahulu hitung panjang sisi BD menggunakan aturan cosinus
BD²=3² + 8² - 2 x3 x 8 x Cos 60°
BD²= 9 + 64 - 24=49
BD =√49=7 cm
Perhatikan bahwa △CBD memiliki panjang sisi 7cm, 24 cm dan 25cm yang merupakan tripel pitagoras. Maka dapat disimpulkan bahwa △CBD adalah segitiga siku-siku sehingga luasnya adalah
Luas △CBD=½ x 7 x 24=84 cm²
Maka luas segiempat ABCD= Luas △ABD + Luas △CBD
= 6√3 cm² + 84 cm²
=(6√3 + 84) cm²
14. Jika △ABC memiliki besar <A=65°, <B=55°, panjang sisi AC=6cm dan panjang sisi BC=8cm, maka luas segitiga tersebut adalah
Pembahasan :
 |
| Luas segitiga? |
Luas △ABC=½ x AC x BC x Sin 60°
=½ x 6 x 8 x ½√3
=12√3 cm²
15. Tentukan luas segilima beraturan yang panjang jari-jarinya adalah 8 cm.
Pembahasan :
Perhatikan gambar dibawah ini !
 |
| Luas segi 5? |
Segilima beraturan terdiri dari 5 buah segitiga yang kongruen, maka luas segilima tersebut adalah 5 kali luas segitiga AOB dimana besar <AOB=360° =72°
5
Luas segi-5=5 x Luas △AOB
=5 x ½ x 8 x 8 x Sin 72°
=160 x 0,951
=152,16 cm²
Baca Juga : Soal-soal Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Baca juga : Soal Luas Segitiga Dan Segi-n Beraturan
Semoga Bermanfaat
izin belajar mbak
silahkan mas
Jawaban NO 4 salah karena harusnya sudut B=30 jadi pakai sin 30=1/2
oh iya, terima kasih banyak atas koreksinya
sudah diperbaiki